Enunciado

Nos Exercícios 5-10, determine uma equação para a tangente à curva em um ponto dado. Em seguida, esboce a curva e a tangente em um único gráfico.

y = 2 x ,           ( 1 , 2 )

Passo 1

Relembrando a equação da reta tangente :

y - f a = m x - a

Nesse caso,

y - 2 = m x - 1

Assim, precisamos determinar o m , que é o coeficiente angular da curva no ponto dado. Para isso, vamos usar a equação:

m = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

A primeira coisa a ser feita é substituir a função f x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ 2 x + h - 2 x h

Em seguida, vamos substituir na equação anterior o valor de x = 1 .

m = lim h → 0 ⁡ 2 1 + h - 2 1 h

m = lim h → 0 ⁡ 2 1 + h - 2 h

Passo 3

Quando jogamos h = 0 no nosso querido limite, ele dá ruim.

m = lim h → 0 ⁡ 2 1 + h - 2 h = 2 1 + 0 - 2 0 = 0 0

Para resolver esse nó, podemos tentar multiplicar pelo conjugado do numerador em cima e em baixo para ver se conseguimos cortar alguma coisa. Mas aí pode bater aquela dúvida marota, o que é o bendito conjugado? Esse danado nada mais é que o numerador com o sinal trocado no segundo termo, nesse caso 2 1 + h + 2 .

m = lim h → 0 ⁡ 2 1 + h - 2 h ∙ 2 1 + h + 2 2 1 + h + 2

Lembrando que quando multiplicamos ( x + 1 ) com ( x - 1 ) temos x 2 - 1 2 . Então nesse caso, não será diferente.

m = lim h → 0 ⁡ 2 1 + h 2 - 4 h 2 1 + h + 2

m = lim h → 0 ⁡ 4 1 + h - 4 h 2 1 + h + 2 = lim h → 0 ⁡ 4 h h 2 1 + h + 2

Cortando o h , temos:

m = lim h → 0 ⁡ 4 2 1 + h + 2 = 4 2 1 + 0 + 2 = 4 2 + 2 = 4 4 = 1

Passo 4

Lembra da equação da tangente que definimos lá em cima, agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 1 = m x - 1

y - 2 = 1 x - 1

Reescrevendo a equação:

y = x + 1

Passo 5

Por fim, vamos desenhar a curva e a tangente encontrada.

Resposta

y = x + 1

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Encontre d 2 y d x 2 . (b) y = 12 x 2 - 2 x + 3
Encontre d 2 y d x 2 .(b) y = 3 x + 2
Encontre d 2 y d x 2 .(c) y = 3 x - 2 5 x
(c) Encontre d 4 [ x - 3 ] d x 4 x = 1 .
Encontre y ' ' ' .(c) y = a x 3 - b x + c ( a , b , c constantes)