Enunciado

Nos Exercícios 5-10, determine uma equação para a tangente à curva em um ponto dado. Em seguida, esboce a curva e a tangente em um único gráfico.

y = 4 - x 2 ,           ( - 1,3 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, precisamos relembrar a equação de uma reta tangente que é:

y - f a = m x - a

Nesse caso,

y - 3 = m x + 1

Assim, precisamos determinar o m , que é o coeficiente angular da curva no ponto dado. Para isso, vamos usar a equação:

m = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Antes de qualquer coisa, podemos substituir a função f x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ 4 - x + h 2 - 4 - x 2 h

Em seguida, vamos substituir na equação anterior o valor de x = - 1 .

m = lim h → 0 ⁡ 4 - - 1 + h 2 - 4 - - 1 2 h

Em seguida, podemos fazer algumas mexidas nessa equação para facilitar as contas. Lembrando que - 1 + h 2 = - 1 2 + 2 h - 1 + h 2 , a equação fica dessa forma:

m = lim h → 0 ⁡ 4 - 1 - 2 h + h 2 - 4 - 1 h

m = lim h → 0 ⁡ 4 - 1 + 2 h - h 2 - 3 h

m = lim h → 0 ⁡ 3 + 2 h - h 2 - 3 h

m = lim h → 0 ⁡ 2 h - h 2 h

Podemos cortar h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ 2 - h = 2

Passo 3

Lembra da equação da tangente que definimos lá em cima, agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 3 = m x + 1

y - 3 = 2 x + 1

Reescrevendo a equação:

y = 2 x + 5

Passo 4

Por fim, vamos desenhar a curva e a tangente encontrada.

Resposta

y = 2 x + 5

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