Enunciado

Determine a derivada.

d) y = a r c t g ( x^2 )

Passo 1

Beleza, pessoal? Nessa questão aqui nós vamos usar a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções, tá vendo? Tem a função a r c t g composta com a função polinomial x^2 . Pra resolver isso, nós precisamos saber como que faz a derivada de a r c t g ( x ) . Nós já vimos isso lá na letra a dessa mesma questão, mas vamos repetir a demonstração aqui!

Pela notação de Leibniz , temos que:

(d y)/(d x) = (1)/((d x)/(d y))

Vamos pegar uma função y tal que:

y = a r c t g x

Ou seja,

x = t g y

Logo,

(a r c t g x)^' = (1)/((t g y)^') = (1)/(sec^2 y)

E partindo da relação fundamental, podemos escrever:

s e n^2 y + cos^2 y = 1

Dividindo por cos^2 y :

t g^2 y + 1 = sec^2 y

E então, substituindo:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y)

E nós vimos que t g y = x , portanto:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y) = (1)/(1 + x^2)

Passo 2

Show de bola! Agora que sabemos a expressão da derivada de a r c t g , é só usarmos a regra da cadeia!

(d y)/(d x) = [a r c t g (x^2)]^'

(d y)/(d x) = [(1)/(1 + (x^2)^2)] (x^2)^'

Desenvolvendo:

(d y)/(d x) = [(1)/(1 + x^4)] (2 x)

(d y)/(d x) = (2 x)/(1 + x^4)

Resposta

(d y)/(d x) = (2 x)/(1 + x^4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a derivada da função G w = tan - 1 ⁡ w - 3 3 w + 1 .
Expresse as quantidades dadas em termos do logaritmo natural. cosh - 1 ⁡ 2
Um holofote está a 1 2 km de uma estrada reta e mantém sua luz focalizada em um automóvel que está viajando a uma velocidade escalar constante de 60 km/h. Ache a taxa segundo a qual o feixe de luz est
Nos Exercícios 1-4:a. Determine f - 1 ( x ) .b. Esboce em um único gráfico f e f - 1 .c. Calcule d f d x em x = a e d f - 1 d x em x = f ( a ) para mostrar que nesses pontos d f - 1 d x = 1 d f d x .2
Nos Exercícios 1-4:a. Determine f - 1 ( x ) .b. Esboce em um único gráfico f e f - 1 .c. Calcule d f d x em x = a e d f - 1 d x em x = f ( a ) para mostrar que nesses pontos d f - 1 d x = 1 d f d x .1