Determine a derivada.

d) y = arctg(x^2)

Passo 1

Beleza, pessoal? Nessa questão aqui nós vamos usar a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções, tá vendo? Tem a função a r c t g composta com a função polinomial x 2 . Pra resolver isso, nós precisamos saber como que faz a derivada de a r c t g ( x ) . Nós já vimos isso lá na letra a dessa mesma questão, mas vamos repetir a demonstração aqui!

Pela notação de Leibniz , temos que:

d y d x = 1 d x d y

Vamos pegar uma função y tal que:

y = a r c t g   x

Ou seja,

x = t g   y

Logo,

a r c t g x ' = 1 t g y ' = 1 sec 2 ⁡ y

E partindo da relação fundamental, podemos escrever:

s e n 2 y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ y :

t g 2 y + 1 = sec 2 ⁡ y

E então, substituindo:

a r c t g x ' = 1 1 + t g 2 y

E nós vimos que t g y = x , portanto:

a r c t g x ' = 1 1 + t g 2 y = 1 1 + x 2

Passo 2

Show de bola! Agora que sabemos a expressão da derivada de a r c t g , é só usarmos a regra da cadeia!

d y d x = a r c   t g   x 2 '

d y d x = 1 1 + x 2 2 x 2 '

Desenvolvendo:

d y d x = 1 1 + x 4 2 x

d y d x = 2 x 1 + x 4

Resposta

d y d x = 2 x 1 + x 4

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