As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.
Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,
 ∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x s e n y c o s   x 2 + y 2 = s e n y c o s x 2 + y 2 - x s e n y - s e n x 2 + y 2 ⋅ 2 x c o s x 2 + y 2 2 = s e n y cos  (  x 2 + y 2 + 2 x 2 s e n x 2 + y 2 cos (  x 2 + y 2 ) 2   
 
  
  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
 
 
  
 
  
  
  
 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
 
Agora vamos derivar em y,
 ∂ z ∂ y = ∂ ∂ y x s e n y c o s   x 2 + y 2 = x c o s y c o s x 2 + y 2 ) - x s e n y - s e n x 2 + y 2 ⋅ 2 y c o s x 2 + y 2 2   = x c o s y c o s x 2 + y 2 + 2 x y s e n y s e n x 2 + y 2 c o s x 2 + y 2 2