Enunciado

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x y z 2 = 6 ,                   ( 3 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Queremos a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado. Para isso, vamos interpretar a superfície com uma superfície de nível 0 da função

f x , y , z = x y z 2 - 6

O vetor normal ao plano será o gradiante dessa função:

∇ f x , y , z = ( y z 2 , x z 2 ,   2 x y z )

Usando x ,   y ,   z = ( 3 ,   2 ,   1 ) :

∇ f = ( 2 ,   3 ,   12 )

Esse é o vetor normal do plano tangente e o vetor diretor da reta tangente!

Passo 2

A equação do plano tangente é dada pelo produto escalar:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ ∇ f = 0

Assim,

x - 3 ,   y - 2 ,   z - 1 ⋅ 2 ,   3 ,   12 = 0

Portanto,

2 x - 6 + 3 y - 6 + 12 z - 12 = 0

Logo,

2 x + 3 y + 12 z = 24

Passo 3

Já para a reta normal:

x , y , z = x 0 ,   y 0 , z 0 + t   ∇ f

Assim,

x , y , z = 3 ,   2 ,   1 + t   ( 2 ,   3 ,   12 )

Resposta

2 x + 3 y + 12 z = 24

x , y , z = 3 ,   2 ,   1 + t   ( 2 ,   3 ,   12 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

14.1. É dado o mapa de contornos mostrando a pressão barométrica (em milímetros) às 7:00 horas da manhã do dia 12 de setembro de 1960, quando o Furacão Donna estava ativo. Estime o valor da função pre
14.14. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v g r , θ = e - r sin ⁡ θ , 0 , π 3 v = 3 i - 2 j
14.15. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , 1 , 2 , - 2 v =- 6 , 6 , - 3
14.16. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v f x , y , z = x y + z , 4,1 , 1 v =1,2 , 3
7-10.a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .8. f x ,y = x 2 ln ⁡ y ,P 3 ,1 ,u = - 5 13 i + 12 13 j