Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z , t = x y ² t + 2 z

Passo 1

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes. É importante destacar que quando um termo só está em função de uma variável e estamos derivando em relação à outra, ou seja, considerando-a constante, a sua derivada é ZERO.

Passo 2

Seja a função: f x , y , z , t = x y ² t + 2 z

São quatro as derivadas parciais:

  • Fixando y , z   e t   temos f x , quando derivamos em relação a x.
  • Assim, f x =   1 . y 2 t + 2 z =   y 2 t + 2 z .

  • Fixando x , z   e t   temos f y , quando derivamos em relação a y.
  • Assim, f y = x . ( 2 y ) t + 2 z = 2 x y t + 2 z

  • Fixando x , y   e t   temos f z , quando derivamos em relação a z, utilizando a regra da cadeia.
  • Assim, f z = - 1 x y 2 t + 2 z 2 .   2 = - 2 . x y ² ( t + 2 z ) ²

  • Fixando x , y   e z   temos f t , quando derivamos em relação a t, utilizando a regra da cadeia.

Assim, f t = - 1 x y 2 t + 2 z 2 .   1 = - x y 2 t + 2 z 2

Resposta

f x =   y 2 t + 2 z

f y = 2 x y t + 2 z

f z =   - 2 . x y ² ( t + 2 z ) ²

f t = - x y 2 t + 2 z 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o jacobiano ∂ x , y ∂ ( u , v ) para:a) x = u cos ⁡ v ,y = u sen ⁡ v
Calcular o jacobiano ∂ x , y ∂ ( u , v ) para:c) x = u 2 + v 2 ,y = u v
As equações 2 u + v - x - y = 0 e x y + u v = 1 determinam u e v como funções de x e y . Determinar ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y ,∂ v ∂ xe ∂ v ∂ y .
Dadas as funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definidas pelo sistema u = 2 x 2 + y 2 v = x - 2 y determinar as derivadas parciais de 1 ª ª ordem de x e y em relação a u e v .
Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:e) q → x , y = x y , x - y ln ⁡ y