Enunciado

As equações 2 u + v - x - y = 0 e x y + u v = 1 determinam u e v como funções de x e y . Determinar ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y ,   ∂ v ∂ x   e ∂ v ∂ y .

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são definidas pelas equações F x , y , u , v = 0 e G x , y , u , v = 0 . Assim,

F x , y , u , v = 0 G x , y , u , v = 0

Então, podemos reescrever a nossa equação como:

F x , y , u , v = 2 u + v - x - y G x , y , u , v = x y + u v - 1

Portanto, podemos descobrir os valores das derivadas em relação a x   e   y para a variável u a partir das seguintes equações:

∂ u ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ∂ G ∂ v ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v

∂ u ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ v ∂ G ∂ y ∂ G ∂ v ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v

Desse modo, as derivadas parciais de F e G são:

∂ F ∂ x = - 1 ;   ∂ F ∂ y = - 1

∂ F ∂ u = 2 ;   ∂ F ∂ v = 1

∂ G ∂ x = y ;   ∂ G ∂ y = x

∂ G ∂ u = v ;   ∂ G ∂ v = u

Passo 2

Assim, os valores para ∂ u ∂ x   e ∂ u ∂ x são:

∂ u ∂ x = - - 1 1 y u 2 1 v u = - - u - y 2 u - v

∂ u ∂ x = u + y 2 u - v

∂ u ∂ y = - - 1 1 x u 2 1 v u = - - u - x 2 u - v

∂ u ∂ y = u + x 2 u - v

Passo 3

Por fim, podemos descobrir os valores das derivadas em relação a x   e   y para a variável v a partir das seguintes equações:

∂ v ∂ x = - ∂ F ∂ u ∂ F ∂ x ∂ G ∂ u ∂ G ∂ x ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v

∂ v d y = - ∂ F ∂ u ∂ F ∂ y ∂ G ∂ u ∂ G ∂ y ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v

Passo 4

Assim, os valores para ∂ v ∂ x   e ∂ v ∂ y são:

∂ v ∂ x = - 2 - 1 v y 2 1 v u = - 2 y + v 2 u - v

∂ v ∂ x = - 2 y + v 2 u - v

∂ v d y = - 2 - 1 v x 2 1 v u = - 2 x + v 2 u - v

∂ v ∂ y = - 2 x + v 2 u - v

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ u ∂ x = u + y 2 u - v

∂ u ∂ y = u + x 2 u - v

∂ v ∂ x = - 2 y + v 2 u - v

∂ v ∂ y = - 2 x + v 2 u - v

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