Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

20-

f s , t = s t 2 s 2 + t 2

Passo 1

Nesse caso como as variáveis são s e t e a função é f nós teremos as seguintes derivadas parciais para resolver:

∂ f ∂ s     e     ∂ f ∂ t

Começando por ∂ f ∂ s temos:

∂ f ∂ s = ∂ s t 2 s 2 + t 2 ∂ s

Tratando t como constante temos:

∂ s t 2 s 2 + t 2 ∂ s = t 2 × ∂ s s 2 + t 2 ∂ s

Aplicando a regra do quociente para resolver essa derivada em relação a s nós teremos:

∂ s s 2 + t 2 ∂ s = 1 s 2 + t 2 - s ( 2 s ) s 2 + t 2 2 = - s 2 + t 2 s 2 + t 2 2

Logo substituindo o resultado teremos::

∂ f ∂ s = t 2 × ∂ s s 2 + t 2 ∂ s = - s 2 t 2 + t 4 s 2 + t 2 2

Passo 2

Agora para ∂ f ∂ t :

∂ f ∂ t = ∂ s t 2 s 2 + t 2 ∂ t = s ∂ t 2 s 2 + t 2 ∂ t

Pela regra do quociente temos:

∂ t 2 s 2 + t 2 ∂ t = 2 t s 2 + t 2 - t 2 ( 2 t ) s 2 + t 2 2 = 2 s 2 t + 2 t 3 - 2 t 3 s 2 + t 2 2 = 2 s 2 t s 2 + t 2 2

Logo, substituindo o resultado da derivada parcial:

∂ f ∂ t = ∂ s t 2 s 2 + t 2 ∂ t = s ∂ t 2 s 2 + t 2 ∂ t = s × 2 s 2 t s 2 + t 2 2 = 2 s 3 t s 2 + t 2 2

Resposta

∂ f ∂ s = - s 2 t 2 + t 4 s 2 + t 2 2

∂ f ∂ t = 2 s 3 t s 2 + t 2 2

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