1. Determine as derivadas parciais

c) z = (x^3 + y^2) / (x^2 + y^2)

Passo 1

As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.

Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x 3 + y 2 x 2 + y 2 = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2 = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2 = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

E agora vamos derivar em y,

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y x 3 + y 2 x 2 + y 2 = 2 y x 2 + y 2 - 2 y x 3 + y 2 x 2 + y 2 2 = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2 = 2 y x 2 1 - x x 2 + y 2 2 = 2 x 2 y 1 - x x 2 + y 2 2

Resposta

∂ z ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

e

∂ z ∂ y = 2 x 2 y 1 - x x 2 + y 2 2

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