Enunciado

Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito no triângulo retângulo mostrado na figura a seguir.

Passo 1

Vamos ter que a área do retângulo vai ser:

A = h . w

Olhando o triângulo retângulo, Vamos ter que o triângulo menor que está acima do retângulo é semelhante ao triângulo 3,4 , 5

Sua base é w e a altura é 4 - h , logo:

w 3 = 4 - h 4

Isso nos diz que:

w = 3 4 4 - h

E a área vai ficar:

A = 3 4 h 4 - h

A = 3 h - 3 4 h 2

Onde o valor máximo que h pode assumir é 4 e o mínimo é 0

0 ≤ h ≤ 4

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

A ' = 0

Vamos derivar e achar:

A ' = 3 - 3 4 2 h

A ' = 3 - 3 2 h

Fazendo isso igual a 0

3 - 3 2 h = 0

3 2 h = 3

3 h = 6

h = 6 3

h = 2

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

A = 3 4 h 4 - h

h = 0 → A = 3 4 0 4 - 0 = 0

h = 2 → A = 3 4 2 4 - 2 = 3 2 . 2 = 3

h = 4 → A = 3 4 4 4 - 4 = 0

O maior dos 3 valores é quando h = 2

Entao o retângulo tem dimensões:

h = 2

w = 3 4 4 - 2 = 3 4 2 = 3 2

Resposta

h = 2

w = 3 2

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