Enunciado

Você está projetando uma lata (um cilindro de revolução) de 1000   c m 3 cuja manufatura levará em conta o desperdício. Não há desperdício ao cortar a lateral do alumínio, mas tanto a base como o topo, ambos de raio r , são recordados de quadrados que medem 2 r de lado. Portanto, a quantidade total de alumínio utilizada para fazer uma lata será de

A = 8 r 2 + 2 π r h

Em vez de A = 2 π r 2 + 2 π r h , como ocorre no exemplo 2 . Nele, a razão h para r é 2 , qual é a razão nesse caso?

Passo 1

A área vai ser:

A = 8 r 2 + 2 π r h

Ele disse que o volume é sempre 1000 , então:

π r 2 h = 1000

Isolando o h

h = 1000 π r 2

A nossa área fica:

A = 2 π r 1000 π r 2 + 8 r 2

A = 2000 r + 8 r 2

Onde o raio é maior que 0

r > 0

Não pode ser 0 porque r está no denominador.

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

A = 2000 r + 8 r 2

Colocando a fração como potência:

A = 2000 r - 1 + 8 r 2

A espessura é constante, então não interfere na derivada.

Derivando:

A ' = - 2000 r - 2 + 16 r

Fazendo isso igual a 0

- 2000 r - 2 + 16 r = 0

2000 r 2 = 16 r

Cortando o 16 dos dois lados

1 25 r 2 = r

r 3 = 125

r = 5

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

A = 2000 r + 8 r 2

Ele só deu a limitação em 0 certo? Quer dizer que a outra limitação é o infinito.

r = 0 → A = 8 0 2 + 2000 0 = ∞

r = 5 → A = π 5 2 + 8 5 2 = 25 π + 200

r = ∞ → A = 8 ∞ 2 + 2000 ∞ = ∞ + 0 = ∞

O menor dos 3 valores é quando r = 5

Então vamos ter

r = 5

E

h = 1000 π 5 2 = 1000 25 π = 40 π

Assim, a razão será:

R a z ã o = h r = 40 π 5 = 8 π

Resposta

8 π

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