Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

h x = 6 x + 7 ,   s e   x < - 2 3 ,   s e   x = - 2 4 - x ,   s e - 2 < x

Passo 1

Vamos fazer como a última questão, primeiro plotar o gráfico e depois analisar o domínio e a imagem da função. De intervalo em intervalo vamos plotando como ela se comporta, começando pelo primeiro intervalo que temos a equação da reta 6 x - 7 :

Vamos achar 2 pontos que satisfaçam equação e daí podemos encontrar o gráfico da reta que liga os dois pontos. Vamos fazer x = - 3 e x = - 2 :

6 - 3 + 7 = - 11

6 - 2 + 7 = - 5

Agora é só ligar os dois pontos ( - 3 ,   - 11 ) e - 2 ,   - 5 que encontramos e teremos nossa reta:

Passo 2

Agora vamos para o intervalo intermediário, que é um ponto: ( 3 ,   - 2 ) . Adicionando esse ponto ao nosso gráfico anterior:

Passo 3

Vamos agora para a última parte da nossa função condicional: 4 - x para x > - 2 .

Isso é a equação de uma reta com coeficiente angular - 1 e cruza o eixo x no ponto x = 4 . Daí temos a última parte que faltava para completar o nosso gráfico:

Passo 4

Agora fica tranquilo de determinar o domínio e a imagem né? O domínio é todo o conjunto dos reais, já que não temos nenhuma restrição em x . Já a imagem da função é limitada até aquele valor no topo da reta da esquerda que é y = 6 . Repare que a bolinha está aberta, então aquele valor não pertence à imagem.

Daí ficamos com o domínio: - ∞ ,   + ∞

E a imagem: - ∞ ,   6 .

Resposta

Domínio: - ∞ ,   + ∞

Imagem:   - ∞ ,   6

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