Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

H x = x 2 - 4 ,   s e   x < 3 2 x - 1 ,   s e   3 ≤ x

Passo 1

Vamos começar definindo o domínio. As condições incluem todos os números reais e não temos nenhuma divisão por x , nenhuma raiz quadrada, nada disso, então o domínio de h será ( - ∞ ,   + ∞ ) .

Passo 2

Para a imagem dessa função, precisamos ser um pouco cuidadosos. Vamos ter que ver como ficam as coisas para os valores de x < 3 pois a imagem de uma função quadrática é restrita.

Sabemos que:

x 2 ≥ 0

Subtraindo 4 de ambos os lados:

x 2 - 4 ≥ - 4

Ou seja:

H x ≥ - 4

Essa será a restrição da nossa imagem. Ou seja: [ - 4 ,   + ∞ )

Não precisamos nos preocupar com que restrição a 2ª condição da função impõe, pois a partir do ponto que ela é definida x = 3 ela já é igual a 5 , que já está dentro da imagem definida pela 1ª equação. E não precisamos nos preocupar com nenhum outro valor da 2ª equação porque ela é uma reta crescente, seu menor valor vai ser em x = 3 .

Passo 3

O gráfico será uma parábola deslocada em - 4 unidades no eixo y até x = 3 . A partir de x = 3 , a função se comporta como uma reta e cresce até o + ∞ . Desse jeito:

Resposta

Domínio:   ( - ∞ ,   + ∞ )

Imagem: [ - 4 ,   + ∞ )

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