Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

F x = x + 1 x 2 + 3 x - 10 x 2 + 6 x + 5

Passo 1

Para fazer o gráfico dessa função da forma que ela está, estaríamos assinando um atestado de loucura hehe. Então vamos tentar simplificar esses polinômios encontrando as raízes deles. Depois que simplificarmos a função, podemos esboçar o gráfico mais facilmente e depois do gráfico definir o domínio e a imagem é moleza.

Passo 2

Vamos começar fatorando a função quadrática do numerador.

Lembre-se que:

x 2 + b x + c = x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2 são as raízes do polinômio. Temos:

x 2 + 3 x - 10

Vamos descobrir as raízes por bhaskara:

x 1,2 = - 3 ± 3 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 10 2 1

x 1,2 = - 3 ± 7 2

Daí temos nossas raízes:

x 1 = 2

E

x 2 = - 5

Ou seja:

x 2 + 3 x - 10 = x - 2 x + 5

Podemos substituir isso na função original!

F x = x + 1 x - 2 x + 5 x 2 + 6 x + 5

Passo 3

Agora fatorando o termo do numerador:

x 2 + 6 x + 5

Vamos usar o mesmo princípio que usamos para fatorar o polinômio do numerador. Então precisamos das raízes. Por bhaskara:

x 1,2 = - 6 ± 6 2 - 4 ∙ 1 ∙ 5 2 1

x 1,2 = - 6 ± 4 2

Nossas duas raízes serão:

x 1 = - 1

E

x 2 = - 5

Então podemos reescrever o polinômio como:

x 2 + 6 x + 5 = x + 1 x + 5

Substituindo na função:

F x = x + 1 x - 2 x + 5 x + 1 x + 5

Agora podemos sair cortando tudo!

F x = x - 2

Passo 4

A F era só polinômio do 1º grau no fim das contas! O gráfico dessa função então vai ser uma reta com inclinação 1 que corta o eixo y em y = - 2 . Fazendo o esboço:

Passo 5

Do gráfico dá pra ver que temos uma reta que vai de - ∞ até + ∞ tanto no x quanto no y . Então o nosso domínio vai ser - ∞ ,   + ∞ e a imagem também!

Resposta

Domínio: - ∞ ,   + ∞

Imagem: - ∞ ,   + ∞

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