Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

F x = x - 2 ,   s e   x < 0 0 ,   s e   x = 0 x 2 + 1 ,   s e   0 < x

Passo 1

Como temos uma função com 3 casos, um para cada intervalo, vamos começar plotando o gráfico para cada intervalo e depois analisamos o domínio e a imagem da função olhando pro gráfico que plotamos. Vamos devagarinho, intervalo por intervalo.

Passo 2

Para x < 0 vamos ter a reta de equação x - 2 . Essa é uma reta que cruza o eixo y em x = 2 e tem inclinação 1 . É como se tivéssemos uma função y = x , porém deslocada para baixo em 2 unidades. Ficamos com:

E assim como a função pede, estamos considerando apenas os valores para x < 0 .

Passo 3

Agora vamos incluir o que a 2ª linha pede:

0 ,   s e   x = 0

Então teremos o ponto 0 ,   0 no nosso gráfico. Assim ó:

Agora é só acrescentar a última parte para x > 0 e teremos o gráfico da função!

Passo 4

A 3ª parte da função da questão diz:

x 2 + 1 ,   s e   0 < x

Um polinômio do 2º grau tem o gráfico de uma parábola! Mas como temos esse + 1 vamos ter que deslocar nossa parábola em 1 unidade pra cima do x . Vamos ficar com:

Esse é o gráfico da nossa função!

Passo 5

Agora olhando pro gráfico podemos definir o domínio e a imagem numa boa. A função está definida para todo valor de x , então o domínio da função fica - ∞ ,   + ∞ .

E agora olhando pros valores que a função assume no eixo y da pra ver que a reta garante todos os valores de - ∞ até - 2 na nossa função. Repare que o - 2 não entra nesse intervalo! O ponto na origem garante o valor de y = 0 e a parábola inclui todos os valores maiores que 1 na imagem. Agora precisamos unir isso tudo para chegar no intervalo da função!

A imagem fica então:

- ∞ ,   - 2 ∪ 0 ∪ 1 ,   + ∞

Resposta

Domínio: - ∞ ,   + ∞

Imagem: - ∞ ,   - 2 ∪ 0 ∪ 1 ,   + ∞

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Determine se a curva dada é o gráfico de uma função de x . Se for o caso, obtenha o domínio da função e a imagem da função.
Seja d a distância de 0,0 a x , y ; expresse d em função de x , sabendo que x , y é um ponto do gráfico de y = 1 x .
Calcule a distância entre os pontos dados. 0,1 e 1,3
Calcule a distância entre os pontos dados. 0,2 e 0,3