Enunciado

Se R for o alcance de um projétil, então

R = v 0 2 sin ⁡ 2 θ g                 0 ≤ θ ≤ 1 2 π

onde v 0 m/s é a velocidade inicial, g m/ s 2 é a aceleração da gravidade e θ é a medida em radianos do ângulo que a arma faz com a horizontal. Ache o valor θ para que o alcance seja máximo.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Nesse caso, o problema já nos dá a equação, o que facilita bastante a nossa vida.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Derivando R θ :

d R d θ = 2 v 0 2 g cos ⁡ 2 θ

Agora igualando a derivada a 0 :

2 v 0 2 g cos ⁡ 2 θ = 0

Como 2 v 0 2 g > 0 , então precisamos que:

cos ⁡ 2 θ = 0

Daí ficamos com:

2 θ = k π 2

Onde k   ∈ Z ,   k ≠ 0 .

θ = k π 4

Para k = 1 :

θ = π 4

Para k = 2 :

θ = π 2

Como θ ∈ 0 , 1 2 π , teremos θ = π 4 e θ = π 2 .

Passo 3

Agora vamos colocar esses valores que encontramos na função. Também precisamos considerar os limites do intervalo.

R 0 = v 0 2 sin ⁡ 0 g = 0

R π 4 = v 0 2 sin ⁡ 2 π 4 g = v 0 2 g

R π 2 = v 0 2 sin ⁡ 2 π 2 g = 0

Temos então que θ = π 4 gera o maior alcance.

Resposta

1 4 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 29 e 30, use a expressão competição perfeita. Quando uma empresa funciona em competição perfeita, há muitas firmas pequenas assim, nenhuma empresa afeta o preço ao elevar a sua produção
31. Sob um monopólio, que significa que há apenas um produtor de certa mercadoria, o preço e então a demanda podem ser controlados, regulando-se a quantidade da mercadoria produzida. Suponha que, sob
32. Ache a menor distância do ponto P 2,0 a um ponto sobre a curva y 2 - x 2 = 1 , e ache o ponto sobre a curva que seja mais próximo de P .
Nos Exercícios 29 e 30, use a expressão competição perfeita. Quando uma empresa funciona em competição perfeita, há muitas firmas pequenas assim, nenhuma empresa afeta o preço ao elevar a sua produção
38. O custo por hora do combustível para um navio de carga é 1 50 v 3 , onde v nós (milha náutica por hora) é a velocidade do navio. Se houver um custo adicional de $ 400 por hora, qual deverá ser a v