Determine o domínio e a imagem da função

g(x) = sen^(-1)(3x + 1)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O domínio e a imagem são conceitos importantes associados a funções matemáticas. Vamos defini-los:

1. Domínio:

- O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (ou valores de x

) para os quais a função está definida. Em outras palavras, são os valores que você pode substituir para x na função.

2. Imagem:

- A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída (ou valores de y ) que a função pode produzir para os valores no domínio.

Passo 2

Veja que aqui temos a função arcoseno, vamos passar para a função seno:

sin ⁡ g ( x ) = 3 x + 1

Sabemos que a função seno é limitada - 1 ≤ sin ⁡ g ( x ) ≤ 1 .

Dito isso, o dominio de nossa função é então:

D o m g = x - 1 ≤ 3 x + 1 ≤ 1 = x - 2 ≤ 3 x ≤ 0 = x - 2 3 ≤ x ≤ 0

D o m g = - 2 3 , 0

A imagem, sabemos que y pode ser qualquer ângulo, então, se pensarmos na circunferência trigonométrica, ficamos com

I m   g = y - π 2 ≤ y ≤ π 2

I m g = - π 2 , π 2

Resposta

D o m g = - 2 3 , 0

I m g = - π 2 , π 2

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