Enunciado

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente.

r u , v = u 2 i ⃑ + 2 u . s e n v j ⃑ + u . c o s v k ⃑ ; u = 1   ,   v = 0

Passo 1

Temos do exercício r u , v = u 2 i ⃑ + 2 u . s e n v j ⃑ + u . c o s ⁡ ( v ) k ⃑

Onde r 1 , 0 = 1 i ⃑ + 0 j ⃑ + 1 k ⃑ = ( 1,0 , 0 )

O primeiro vetor tangente a curva no ponto (1,0) será quando derivarmos r por exemplo em relação a v.

r v = ∂ x ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ v u o , v o k ⃑ equação 4

r v = ∂ ( u 2 ) ∂ v 1 , 0 i ⃑ + ∂ ( 2 u . s e n v ) ∂ v 1 , 0 j ⃑ + ∂ ( u . cos ⁡ v ) ∂ v 1 , 0 k ⃑

r v = 2.1 . cos ⁡ 0 j ⃑ - 1 . s e n 0 k ⃑ = 2 i ⃑ + k ⃑

O outro vetor tangente será quando derivarmos em relação a u.

r u = ∂ ( u 2 ) ∂ u 1 , 0 i ⃑ + ∂ ( 2 u . s e n v ) ∂ u 1 , 0 j ⃑ + ∂ ( u . cos ⁡ v ) ∂ u 1 , 0 k ⃑

r u = 2.1 i ⃑ + 2 . s e n 0 j ⃑ + cos ⁡ 0 k ⃑ = 2 j ⃑

Logo r u × r v = 2 j ⃑   × ( 2 i ⃑ + k ⃑ )

r u × r v = ( - 2 i ⃑ + 4 k ⃑ )

Passo 2

Logo o plano que é tangente a o vetor no ponto   r = ( 1,0 , 0 ) e perpendicular á r u × r v será.

- 2 x - 1 + 0 y - 0 4 z - 1 = 0

Que de forma reduzida ficará.

- x + 2 z = 1

Resposta

- x + 2 z = 1

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