Enunciado

Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.

b) z = x 2 + y 2 ; P 0 0 ,   1 ,   1 ;   P 1 ( - 1 ,   - 1 ,   2 )

Passo 1

Shoow galera, esta aqui também é bem tranquila, mas precisamos parametrizar a equação antes de qualquer coisa, ok?

Para isso vamos chamar:

x = u

y = v

z = u 2 + v 2

Então:

r → u ,   v = u ,   v ,   u 2 + v 2

A equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r 0 → u 0 , v 0 = 0 ,   1 ,   1

r 1 → u 1 , v 1 = ( - 1 ,   - 1 ,   2 )

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 , substituindo os valores do ponto:

x = u = 0

y = v = 1

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 1 = u ,   1 ,   u 2 + 1 2

r → u . 1 = u ,   1 ,   u 2 + 1

Então:

∂ r → ∂ u P 0 = 1 ,   0 ,   2 u

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P 0 = 1 ,   0 ,   0

Para a v-curva, teremos:

r → 0 . v = 0 ,   v ,   0 2 + v 2

r → 0 . v = 0 ,   v ,   v 2

Então:

∂ r → ∂ v P 0 = ( 0 ,   1 ,   2 v )

Substituindo v:

∂ r → ∂ v P 0 = ( 0 ,   1 ,   2 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = 1 ,   0 ,   0 × ( 0 ,   1 ,   2 )

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

1 ,   0 ,   0 × ( 0 ,   1 ,   2 ) = 0 × 2 -   0 × 1 ,     0 × 0 -   1 × 2 ,     1 × 1 -   0 × 0

= 0 ,   - 2 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = 0 ,   - 2 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 0 :

0 ,   1 ,   1 + t 0 ,   - 2 ,   1

= ( 0 ,     1 - 2 t ,     1 + t )

Passo 3

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = ( x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 )

Então:

q → = x ,   y - 1 ,   z - 1

Multiplicando:

0 ,   - 2 ,   1 × x ,   y - 1 ,   z - 1 = 0

0 x - 2 y - 1 + 1 z - 1 = 0

- 2 y + z + 1 = 0

Passo 4

Para o próximo ponto vamos achar u 1 e v 1 , substituindo os valores do ponto:

x = u = - 1

y = v = - 1

Na curva u nós temos:

r → u . - 1 = u ,   - 1 ,   u 2 + ( - 1 ) 2

r → u . - 1 = u ,   - 1 ,   u 2 + 1

Então:

∂ r → ∂ u P 1 = 1 ,   0 ,   2 u

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P 1 = 1 ,   0 ,   - 2

Para a v-curva, teremos:

r → - 1 . v = - 1 ,   v ,   ( - 1 ) 2 + v 2

r → - 1 . v = - 1 ,   v ,   1 + v 2

Então:

∂ r → ∂ v P 1 = ( 0 ,   1 ,   2 v )

Substituindo v:

∂ r → ∂ v P 1 = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = 1 ,   0 ,   - 2 × ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Então:

1 ,   0 ,   - 2 × ( 0 ,   1 ,   - 2 ) = 0 × - 2 + 2 × 1 ,   - 2 × 0 -   1 × - 2 ,     1 × 1 -   0 × 0

= 2 ,   2 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = 2 ,   2 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 1 :

- 1 ,   - 1 ,   2 + t 2 ,   2 ,   1

= ( - 1 + 2 t ,     - 1 + 2 t ,     2 + t )

Passo 5

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = x + 1 ,   y + 1 ,   z - 2

Multiplicando:

2 ,   2 ,   1 × x + 1 ,   y + 1 ,   z - 2 = 0

2 x + 1 + 2 y + 1 + 1 z - 2 = 0

2 x + 2 y + z + 2 = 0

Gostaram dessa ?!

Resposta

P 0 :   - 2 y + z + 1 = 0                   |     ( 0 ,     1 - 2 t ,     1 + t ) ;

P 1 :       2 x + 2 y + z + 2 = 0     |     ( - 1 + 2 t ,     - 1 + 2 t ,     2 + t ) .

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