1.

Encontre a equação da reta normal e do plano tangente à superfície parametrizada por φ u , v = ( u , v , u 2 v 2 ) no ponto P 0 = ( 1,2 , 4 )

Resolução
2.

Quais superfícies dadas na figura abaixo correspondem às parametrizações II e IV:

I r u , v = 2 + cos ⁡ v cos ⁡ u , 2 + cos ⁡ v sen ⁡ u , sen ⁡ v ,     u , v ∈ 0,2 π I I r u , v = cos ⁡ u , sen ⁡ u , v ,     u ∈ 0,2 π ,   v ∈ 0,2 I I I r u , v = a sen ⁡ u cos ⁡ v , a sen ⁡ u sen ⁡ v , a cos ⁡ u ,     u ∈ 0 , π   e   v ∈ 0,2 π I V r u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u ,     u ∈ 0,4 , v ∈ 0,2 π

Resolução
3.

Encontre a equação da reta normal e do plano tangente ao cone z = x 2 + y 2 no ponto P 0 = ( 3,4 , 5 )

Resolução
4.

Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada por

ϕ u , v = u , v , 1 - u - v  

u ≥ 0

v ≥ 0

u + v ≤ 1

Resolução
5.

Encontre a parametrização da reta normal e o plano tangente à superfície parametrizada por φ t , z = ( 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , z ) no ponto em que t = π / 4 e z = 3

Resolução
6.

2) Seja S uma superfície parametrizada por r → u , v = v cos ⁡ u , v sen ⁡ u , 1 - v 2   0 ≤ u ≤ 2 π e v ≥ 0

  1. Identifique essa superfície
  2. Encontre uma equação da reta normal a S em r → 0,1
  3. Encontre uma equação do plano tangente a S em r → ( 0,1 )
Resolução
7.

Quais superfícies dadas na figura abaixo correspondem às seguintes parametrizações.

I r u , v = 2 + cos ⁡ v cos ⁡ u , 2 + cos ⁡ v sen ⁡ u , sen ⁡ v ,     u , v ∈ 0,2 π I I r u , v = cos ⁡ u , sen ⁡ u , v ,     u ∈ 0,2 π ,   v ∈ 0,2 I I I r u , v = a sen ⁡ u cos ⁡ v , a sen ⁡ u sen ⁡ v , a cos ⁡ u ,     u ∈ 0 , π   e   v ∈ 0,2 π I V r u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u ,     u ∈ 0,4 , v ∈ 0,2 π

Diga quais as parametrizações da curvas da grade para as superfícies parametrizadas por I I e por I V e a que correspondem.

Resolução

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