Enunciado

Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.

c) r → u ,   v = u 2 - 1 ,   u ,   v ; P ( 3 ,   2 ,   4 )

Passo 1

Bom gente, já sabemos que a equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r → u 0 , v 0 = ( 3 ,   2 ,   4 )

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 :

x = u 2 - 1

y = u

z = v

Substituindo os valores do ponto:

y = u = 2

z = v = 4

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 4 = u 2 - 1 ,   u ,   4

Então:

∂ r → ∂ u P = 2 u ,   1 ,   0

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P = 4 ,   1 ,   0

Para a v-curva, teremos:

r → 2 . v = 2 2 - 1 ,   2 ,   v

r → 2 . v = 3 ,   2 ,   v

Então:

∂ r → ∂ v P = ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 3

Para finalizar:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 4 ,   1 ,   0 × ( 0 ,   0 ,   1 )

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

4 ,   1 ,   0 × ( 0 ,   0 ,   1 ) = 1 × 1 - 0 × 0 ,     0 × 0 -   4 × 1 ,     4 × 0 -   1 × 0

= 1 ,   - 4 ,   0

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 1 ,   - 4 ,   0

Colocando nossos dados na equação da reta normal:

( 3 ,   2 ,   4 ) + t 1 ,   - 4 ,   0

= ( 3 + t ,     2 - 4 t ,     4 )

E terminamos mais uma galerinha !!

Resposta

( 3 + t ,     2 - 4 t ,     4 )

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