Enunciado

Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície e o plano tangente.

x = u + v ,     y = 3 u 2 ,       z = u - v ;       ( 2,3 , 0 )

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Quando falamos em plano tangente à superfície o vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores r → u e r → v que são as derivadas parciais da função paramétrica em relação às variáveis u e v de parametrização.

O ponto já foi dado. É P 0 = ( 2,3 , 0 )

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Vamos montar a função vetorial:

r → u , v = x u , v i → + y u , v j → + z u , v k →

r → u , v = u + v i → + 3 u 2 j → + ( u - v ) k →

Agora vamos fazer a derivada parcial de r → em relação à v :

r → v = ∂ x ∂ v i → + ∂ y ∂ v j → + ∂ z ∂ v k →

r → v = ( 1,0 , - 1 )

Agora vamos fazer a derivada parcial de r → em relação à u :

r → u = ∂ x ∂ u i → + ∂ y ∂ u j → + ∂ z ∂ u k →

r → u = ( 1,6 u , 1 )

E agora calcular o vetor normal ao plano r → u × r → v :

r → u × r → v = i → j → k → 1 6 u 1 1 0 - 1 = i → - 6 u + j → + 1 + 1 + k → ( - 6 u )

Assim o vetor normal ao plano é - 6 u , 2 , - 6 u .

Mas Sabemos que

y = 3 u 2

E como y = 3 temos que u = 1 . E da coordenada x temos:

x = u + v = 2

Assim tiramos o valor de v = 1 .

Agora sim o vetor normal ao plano está completo: ( - 6,2 , - 6 )

Passo 3

Já que temos o vetor diretor ( - 6,2 , - 6 ) = ( a , b , c ) e o ponto ( 2,3 , 0 ) = x 0 , y 0 , z 0 , e lembrando que a equação do plano é (dá uma espiada no passo um):

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Agora é só substituir!

- 6 x - 2 + 2 y - 3 - 6 z - 0 = 0

- 6 x + 2 y - 6 z + 12 - 6 = 0

- 6 x + 2 y - 6 z + 6 = 0

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por - 2 :

3 x - y + 3 z - 3 = 0

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

3 x - y + 3 z - 3 = 0

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Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.c) z = x y ; P 0 1 , 1 2 , 1 2 ;P 1 ( 0 , 2 ,0 )
Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.e) r → u ,v = u ,v ,- u 2 - v 2 ;P 1 ,1 ,- 2
Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.f) r → u ,v = u ,v ,4 - u 2 - v 2 ;P 1 ,1 ,2
Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados. z = 3 x 2 y ; P 0 1 ,1 ,3 ;P 1 ( - 1 ,1 ,3 )
Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.c) x + 2 y + z = 4 ; P 0 1 , 1 2 , 2 ;P 1 ( 0 , 1 ,2 )