Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.

r(u, v) = (2sen u) i + 3cos u j + v k, 0 ≤ v ≤ 2

Passo 1

Olá, tudo bem? 😊

Temos essa equação paramétrica aqui:

r → u , v = 2 s e n   u i → + 3 c o s u   j → + v k →

E precisamos identificar qual superfície ela representa, sabendo que

0 ≤ v ≤ 2

Primeiro, vamos determinar algumas coordenadas cartesianas.

Dessa forma:

{ x = 2   s e n   u   y = 3 c o s u     z = v  

Passo 2

Vamos fazer a mágica acontecer!

Se fizermos x 2 temos:

𝑥 2 = 4   sin 2 ⁡ 𝑢

Se fizermos y 2 temos:

𝑦 2 = 9   cos 2 ⁡ 𝑢

Fazendo

sin 2 ⁡ 𝑢 + cos 2 ⁡ 𝑢 = 1  

Então,

x 2 4 + y 2 9 = 1

Assim em termos de x e y teremos a equação de uma elipse com seu semieixo maior ao longo do eixo y :

x 2 4 + y 2 9 = 1

E a parte em z ? Bom, ela varia linearmente com v :

z = v

Ou melhor,

0 ≤ v ≤ 2

Então temos um cilindro elíptico de altura 2 .

Resposta

c i l i n d r o   e l í p t i c o

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