Enunciado

Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.

c) z = x y ; P 0 1 , 1 2 , 1 2 ;   P 1 ( 0 , 2 ,   0 )

Passo 1

Shoow galera, esta aqui também é bem tranquila, mas precisamos parametrizar a equação antes de qualquer coisa, ok?

Para isso vamos chamar:

x = u

y = v

z = u v

Então:

r → u ,   v = u ,   v ,   u v

A equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r 0 → u 0 , v 0 = 1 , 1 2 , 1 2

r 1 → u 1 , v 1 = ( 0 , 2 ,   0 )

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 , substituindo os valores do ponto:

x = u = 1

y = v = 1 2

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 1 2 = u , 1 2 , u 2

Então:

∂ r → ∂ u P 0 = 1 ,   0 , 1 2

Para a v-curva, teremos:

r → 1 . v = 1 ,   v ,   v

Então:

∂ r → ∂ v P 0 = ( 0 ,   1 ,   1 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = 1 ,   0 , 1 2 × ( 0 ,   1 ,   1 )

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

1 ,   0 , 1 2 × ( 0 ,   1 ,   1 ) = 0 × 1 - 1 2 × 1 ,     1 2 × 0 -   1 × 1 ,     1 × 1 -   0 × 0

= - 1 2 ,   - 1 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = - 1 2 ,   - 1 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 0 :

1 , 1 2 , 1 2 + t - 1 2 ,   - 1 ,   1

= 1 - 1 2 t ,     1 2 - t ,     1 2 + t

Passo 3

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = ( x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 )

Então:

q → = x - 1 ,   y - 1 2 ,   z - 1 2

Multiplicando:

- 1 2 ,   - 1 ,   1 × x - 1 ,   y - 1 2 ,   z - 1 2 = 0

- 1 2 x - 1 - 1 y - 1 2 + 1 z - 1 2 = 0

- x 2 - y + z + 1 2 = 0

Reorganizando:

x + 2 y - 2 z - 1 = 0

Passo 4

Para o próximo ponto vamos achar u 1 e v 1 , substituindo os valores do ponto:

x = u = 0

y = v = 2

Na curva u nós temos:

r → u . 2 = u ,   2 ,   2 u

Então:

∂ r → ∂ u P 1 = 1 ,   0 ,   2

Para a v-curva, teremos:

r → 0 . v = 0 ,   v ,   0

Então:

∂ r → ∂ v P 1 = ( 0 ,   1 ,   0 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = 1 ,   0 ,   2 × ( 0 ,   1 ,   0 )

Então:

1 ,   0 ,   2 × ( 0 ,   1 ,   0 ) = 0 × 0 -   2 × 1 ,     2 × 0 -   1 × 0 ,     1 × 1 -   0 × 0

= - 2 ,   0 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = - 2 ,   0 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 1 :

( 0 , 2 ,   0 ) + t - 2 ,   0 ,   1

= ( - 2 t ,     2 ,     t )

Passo 5

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = x ,   y - 2 ,   z

Multiplicando:

- 2 ,   0 ,   1 × x ,   y - 2 ,   z = 0

- 2 x + 0 ( y - 2 ) + 1 z = 0

- 2 x + z = 0

Gostaram dessa ?!

Resposta

P 0 :   x + 2 y - 2 z - 1 = 0     |     1 - 1 2 t ,     1 2 - t ,     1 2 + t ;

P 1 :   - 2 x + z = 0                         |       ( - 2 t ,     2 ,     t ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. r u , v = u c o s v i ⃑ + u s e n v j ⃑ + v k ⃑ ;u = 1 , v = π 3
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. r u , v = s e n ( u ) i ⃑ + c o s ⁡ ( u ) s e n v j ⃑ + s e n ( v ) k ⃑ ;u = π 6 , v = π 6
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente. r u , v = 1 - u 2 - v 2 i ⃑ - v j ⃑ - u k ⃑; ( - 1 , - 1 , - 1 )
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente. r u , v = u 2 i ⃑ + 2 u . s e n v j ⃑ + u . c o s v k ⃑ ; u = 1,