Enunciado

Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.

  1. z = 3 x 2 y ; P 0 1 ,   1 ,   3 ;   P 1 ( - 1 ,   1 ,   3 )

Passo 1

Shoow galera, esta aqui também é bem tranquila, mas precisamos parametrizar a equação antes de qualquer coisa, ok?

Para isso vamos chamar:

x = u

y = v

z = 3 u 2 v

Então:

r → u ,   v = u ,   v ,   3 u 2 v

A equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r 0 → u 0 , v 0 = 1 ,   1 ,   3

r 1 → u 1 , v 1 = - 1 ,   1 ,   3

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 :

x = u

y = v

z = 3 u 2 v

Substituindo os valores do ponto:

x = u = 1

y = v = 1

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 1 = u ,   1 ,   3 u 2

Então:

∂ r → ∂ u P 0 = 1 ,   0 ,   6 u

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P 0 = 1 ,   0 ,   6

Para a v-curva, teremos:

r → 1 . v = 1 ,   v ,   3 v

Então:

∂ r → ∂ v P 0 = ( 0 ,   1 ,   3 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = 1 ,   0 ,   6 × ( 0 ,   1 ,   3 )

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

1 ,   0 ,   6 × ( 0 ,   1 ,   3 ) = 0 × 3 -   6 × 1 ,     6 × 0 -   1 × 3 ,     1 × 1 -   0 × 0

= - 6 ,   - 3 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = - 6 ,   - 3 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 0 :

1 ,   1 ,   3 + t - 6 ,   - 3 ,   1

= ( 1 - 6 t ,     1 - 3 t ,     3 + t )

Passo 3

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = ( x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 )

Então:

q → = x - 1 ,   y - 1 ,   z - 3

Multiplicando:

- 6 ,   - 3 ,   1 × x - 1 ,   y - 1 ,   z - 3 = 0

- 6 x - 1 - 3 y - 1 + 1 z - 3 = 0

- 6 x - 3 y + z + 6 = 0

Reorganizando:

6 x + 3 y - z - 6 = 0

Passo 4

Para o próximo ponto vamos achar u 1 e v 1 , substituindo os valores do ponto:

x = u = - 1

y = v = 1

Na curva u nós temos:

r → u . 1 = u ,   1 ,   3 u 2

Então:

∂ r → ∂ u P 1 = 1 ,   0 ,   6 u

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P 1 = 1 ,   0 ,   - 6

Para a v-curva, teremos:

r → - 1 . v = - 1 ,   v ,   3 v

Então:

∂ r → ∂ v P 1 = ( 0 ,   1 ,   3 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = 1 ,   0 ,   - 6 × ( 0 ,   1 ,   3 )

Então:

1 ,   0 ,   - 6 × ( 0 ,   1 ,   3 ) = 0 × 3 +   6 × 1 ,   - 6 × 0 -   1 × 3 ,     1 × 1 -   0 × 0

= 6 ,   - 3 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = 6 ,   - 3 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 1 :

- 1 ,   1 ,   3 + t 6 ,   - 3 ,   1

= ( - 1 + 6 t ,     1 - 3 t ,     3 + t )

Passo 5

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = x + 1 ,   y - 1 ,   z - 3

Multiplicando:

6 ,   - 3 ,   1 × x + 1 ,   y - 1 ,   z - 3 = 0

6 x + 1 - 3 y - 1 + 1 z - 3 = 0

6 x - 3 y + z + 6 = 0

Gostaram dessa ?!

Resposta

P 0 :   6 x + 3 y - z - 6 = 0     |     1 - 6 t ,     1 - 3 t ,     3 + t ;

P 1 :   6 x - 3 y + z + 6 = 0     |     - 1 + 6 t ,     1 - 3 t ,     3 + t .

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