Enunciado

Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = ln ⁡ ( x - 2 y ) ,                       ( 3 ,   1 ,   0 )

Passo 1

A questão pede para para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície z = z ( x , y ) no ponto ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) :

z - z 0 = ∂ z ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ z ∂ y x 0 , y 0 ( y - y 0 )

Neste caso, temos z = ln ⁡ ( x - 2 y ) , de modo que

∂ z ∂ x = 1 x - 2 y

∂ z ∂ y = - 2 x - 2 y

Passo 2

Usando x 0 = 3 e y 0 = 1 :

∂ z ∂ x 3 ,   1 = 1 3 - 2 = 1

∂ z ∂ y 3 ,   1 = - 2 3 - 2 = - 2

Assim, a equação do plano será

z = x - 3 - 2 ( y - 1 )

Portanto,

z = x - 2 y - 1

Resposta

z = x - 2 y - 1

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