Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 0 ∞ - 1 n n n 3 + 2

Passo 1

Note que temos uma série alternada, então, vamos olhar somente para n n 3 + 2 , vamos chamar de:

b n = n n 3 + 2

Temos que

b n = n n 3 + 2 > 0

Para n ≥ 1 .

E { b n } decrescente para n ≥ 2 desde que:

x x 3 + 2 ' = x 3 + 2 1 / 2 ⋅ 1 - x ⋅ 1 2 x 3 + 2 - 1 2 ( 3 x 2 ) x 3 + 2 2   = 1 2 x 3 + 2 - 1 2 [ 2 x 3 + 2 - 3 x 2 ] x 3 + 2 2 = 4 - x 3 2 x 3 + 2 3 / 2 < 0

Para x > 4 3 ≈ 1,6 .

Passo 2

Também precisamos calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n n 3 + 2 = l i m n → ∞ n / n n 3 + 2 / n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2 n 2 = 0

Então, a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n n 3 + 2

converge pelo Teste das séries Alternadas.

Passo 3

Agora, seja

a n = 1 n

A série que escolhemos para comparar no limite. E temos que:

b n = n n 3 + 2

Então, basta calcularmos:

l i m n → ∞   a n b n  

Assim,

l i m n → ∞   a n b n = l i m n → ∞ 1 n ⋅ n 3 + 2 n = l i m n → ∞ n 3 + 2 n 3 = l i m n → ∞ 1 + 2 n 3 = 1

Passo 4

Como

1 > 0

Então, a série

∑ n = 0 ∞ - 1 n n n 3 + 2

Diverge pelo teste da comparação no limite com a p-série ∑ n = 1 ∞ 1 n (ou seja, com p = 1 2 ≤ 1 )

Então, a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n n 3 + 2

É condicionalmente convergente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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