Enunciado

Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = 3 y 2 - 2 x 2 + x ,                       ( 2 ,   - 1 ,   - 3 )

Passo 1

A questão pede para para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície z = z ( x , y ) no ponto ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) :

z - z 0 = ∂ z ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ z ∂ y x 0 , y 0 ( y - y 0 )

Neste caso, temos z = 3 y 2 - 2 x 2 + x , de modo que

∂ z ∂ x = - 4 x + 1

∂ z ∂ y = 6 y

Passo 2

Usando x 0 = 2 e y 0 = - 1 :

∂ z ∂ x 2 ,   - 1 = - 8 + 1 = - 7

∂ z ∂ y 2 ,   - 1 = - 6

Assim, a equação do plano será

z - - 3 = - 7   x - 2 - 6 ( y + 1 )

Portanto,

z + 3 = - 7 x + 14 - 6 y - 6

Logo,

z = - 7 x - 6 y + 5

Resposta

z = - 7 x - 6 y + 5

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