Enunciado

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = y + s e n   x y ,                       ( 0 ,   3 )

Passo 1

O problema pede para explicarmos por que a função é diferenciável no ponto dado e encontrar a linearização da função nesse ponto. Você precisa lembrar que a linearização nada mais é que a equação do plano tangente:

L x , y = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

Vamos calcular as derivadas parciais de f :

∂ f ∂ x = cos ⁡ x y ⋅ 1 y = 1 y cos ⁡ x y

∂ f ∂ y = 1 + cos ⁡ x y ⋅ - x y 2 = 1 - x y 2 cos ⁡ x y

Note que ambas as derivadas são contínuas em x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   3 ) , de modo que f é diferenciável nesse ponto!

Passo 2

Usando x 0 = 0 e y 0 = 3 :

∂ f ∂ x 0 ,   3 = 1 3 cos ⁡ 0 = 1 3

∂ f ∂ y 0 ,   3 = 1 - 0 = 1

Além disso,

f 0 ,   3 = 3 + s e n   0 = 3

Assim, a linearização será

L x , y = 3 + 1 3 x + 1   ( y - 3 )

Portanto,

L x , y = x 3 + y

Resposta

L x , y = x 3 + y

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Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2 x + 3 y e tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + x y .