Enunciado

Determine a equação do plano.

O plano que passa pelos pontos ( 0 , - 2,5 ) e ( - 1,3 , 1 ) e é perpendicular ao plano 2 z = 5 x + 4 y .

Passo 1

A equação de um plano é da forma:

a x + b y + c z = d

Onde ( a , b , c ) é vetor normal ao plano.

Vamos ver o vetor do outro plano que ele deu...

( 5,4 , - 2 )

Beleza, o vetor ( 5 , 4 , - 2 ) é normal ao plano perpendicular ao nosso, então ele é paralelo ao nosso plano, não vamos poder usar ele diretamente.

A gente pode achar outro vetor paralelo ao plano usando os pontos:

v = ( - 1,5 , - 4 )

O vetor normal ao plano é ortogonal a esses dois, então a gente pode achar fazendo o produto vetorial.

Passo 2

O produto vetorial entre os dois vetores é:

det ⁡ i j k 5 4 - 2 - 1 5 - 4 = i 4 - 2 5 - 4 - j 5 - 2 - 1 - 4 + k 5 4 - 1 5

- 6 i + 22 j + 29 k

Um vetor normal ao plano então é:

- 6,22,29

O plano então é da forma:

- 6 x + 22 y + 29 z = d

Passo 3

Agora é só substituir um ponto nessa equação para achar o d ...

0 , - 2,5 → - 6 x + 22 y + 29 z = d

- 6 0 + 22 - 2 + 29 5 = d

d = 101

Então o plano é:

- 6 x + 22 y + 29 z = 101

Resposta

- 6 x + 22 y + 29 z = 101

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