Enunciado

Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2 y + x = 3 e tangente ao gráfico de f x = x 2 - 3 x .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a equação da reta que é perpendicular à reta 2 y + x = 3 e tangente ao gráfico da curva de f x = x 2 - 3 x .

Para isso, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em x 0 possui o coeficiente angular igual a derivada da função em x 0 .

Além disso, quando duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares ( f ' ( x 0 ) ) é igual a - 1 .

Então aqui, para achar o coeficiente angular da reta dada, devemos isolar o y e observar o termo que multiplica x (este será o coeficiente angular). Depois é só aplicar na fórmula da reta tangente.

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar isolando y em 2 y + x = 3 , para descobrir o valor do coeficiente angular entre ela e a reta que nós vamos encontrar, que será perpendicular a ela. Olha só:

2 y + x = 3

2 y = - x + 3

Dividindo ambos os lados por 2 :

y = - 1 2 x + 3 2

Como o coeficiente angular de y é - 1 2 e como o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a - 1 , vamos ter:

f ' x 0 ⋅ - 1 2 = - 1

f ' x 0 = 2

Agora vamos achar o valor de x 0 .

Passo 3

Se f x = x 2 - 3 x sua derivada é dada por:

f ' x = 2 x - 3

Assim:

2 x 0 - 3 = 2

Isolando x 0 :

2 x 0 = 5

x 0 = 5 2

Se x 0 = 5 2 , então substituindo em f ( x ) , vamos ter:

f x 0 = 5 2 2 - 3 5 2 = - 5 4

f x 0 = - 5 4

Passo 4

Podemos aplicar esses valores na fórmula da reta tangente. Assim:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 = 5 2 , temos: y + 5 4 = 2 x - 5 2

y = 2 x - 5 - 5 4

y = 2 x - 25 4

Logo, a reta tangente é a de equação y = 2 x - 25 4 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 2 x - 25 4

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