Calcule

∫ 1 2 1 + x x 3 d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 1 2 1 + x x 3 d x = ∫ 1 2 1 x 3 d x + ∫ 1 2 x x 3 d x = ∫ 1 2 x - 3 d x + ∫ 1 2 x - 2 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ x - 3 d x , n = - 3

∫ x - 3 d x = x n + 1 n + 1 = x - 3 + 1 - 3 + 1 = x - 2 - 2 = - x - 2 2

Para ∫ x - 2 d x , n = - 2

∫ x - 2 d x = x n + 1 n + 1 = x - 2 + 1 - 2 + 1 = x - 1 - 1 = - x - 1

∫ 1 2 1 + x x 3 d x =   - x - 2 2 - x - 1

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: - x - 2 2 - x - 1 2 1 =

= - 1 2 2 2 - 1 2 1 - - 1 2 1 2 - 1 1 1 = - 1 8 - 1 2 + 1 2 + 1   = - 1 8 + 1 = - 1 + 8 8 = 7 8

Resposta

∫ 1 2 1 + x x 3 d x = 7 8

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