Enunciado

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.

f x , y = x e x 2 - y 2   e m   2,2 , f 2,2

Passo 1

Podemos encontrar o plano tangente pela fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto dado. Vamos então calcular as derivadas

f x = e x 2 - y 2 + 2 x 2 e x 2 - y 2

f y = - 2 x y e x 2 - y 2

Substituindo no ponto 2,2

f x 2,2 = 9

f y 2,2 = - 8

Precisamos também da função neste ponto

f 2,2 = 2

Substituindo todos os valores na equação do plano

z - f 2 , 2 = f x 2,2 x - 2 + f y ( 2,2 ) ( y - 2 )

z - 2 = 9 x - 2 - 8 ( y - 2 )

z - 2 = 9 x - 18 - 8 y + 16

9 x - 8 y - z = 0

Passo 2

Para encontrar a reta normal ao plano, podemos usar o vetor normal, que tiramos dos coeficientes da equação do plano n → = 9 , - 8 , - 1 no ponto dado 2,2 , 2 e jogamos na fórmula da equação da reta

x , y , z = 2,2 , 2 + t 9 , - 8 , - 1 ,     t ∈ R

Resposta

9 x - 8 y - z = 0

x , y , z = 2,2 , 2 + t 9 , - 8 , - 1 ,     t ∈ R

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