Enunciado

2 x + y + 3 z = 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 1,1 , 1 .

  1. Calcule ∂ f ∂ x 1,1 e ∂ f ∂ y 1,1 .
  2. Determine a equação da reta normal no ponto 1,1 , 1 .

Passo 1

  1. A equação do plano tangente é dada por
  2. z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

    Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto onde o plano tangencia a função, neste caso o ponto é 1,1 .

    Perceba que o coeficiente de x nesta equação é ∂ f ∂ x x 0 , y 0 e o de y é ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , como estamos no ponto certo ( x 0 , y 0 = 1,1 ) , temos que as derivadas serão justamente os coeficientes do plano dado, porém na equação o coeficiente de z precisa ser - 1 , então vamos manipular a equação do plano dado

    2 x + y + 3 z = 6

    Multiplicando por - 1 3

    - 2 3 x - 1 3 y - z = - 2

    Temos então que

    ∂ f ∂ x 1,1 = - 2 3

    ∂ f ∂ 1 1,1 = - 1 3

    Passo 2

  3. Temos o ponto 1,1 , 1 e pela equação do plano dada, podemos tirar o vetor normal n → = 2,1 , 3 , então a reta é

x , y , z = 1,1 , 1 + t 2,1 , 3 ,     t ∈ R

Resposta

  1. ∂ f ∂ x 1,1 = - 2 3

    ∂ f ∂ 1 1,1 = - 1 3

x , y , z = 1,1 , 1 + t 2,1 , 3 ,     t ∈ R

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