Enunciado

Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.

x = t

y = t 2

z = t 3

( 1,1 , 1 )

Passo 1

O plano normal tem como vetor normal r ' ( t ) , então vamos calcular

r ' t = ( 1,2 t , 3 t 2 )

No ponto ( 1,1 , 1 ) temos t = 1 , então o vetor normal ao plano é

r ' 1 = ( 1,2 , 3 )

Agora podemos achar o plano normal com a fórmula

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde ( a , b , c ) é o vetor normal ao plano e ( x 0 , y 0 , z 0 ) o ponto

1 x - 1 + 2 y - 1 + 3 z - 1 = 0

O plano normal é

x + 2 y + 3 z - 6 = 0

x + 2 y + 3 z = 6

Passo 2

O plano osculador tem os vetores r ' ( t ) e o vetor normal r ' ' ( t ) então tem como normal

r ' × r ' '

A primeira derivada nós já temos, então basta calcular a segunda derivada:

r ' ' t = ( 0,2 , 6 t )

No ponto t = 1

r ' ' 1 = ( 0,2 , 6 )

Calculando o vetor binormal r ' × r ' '

r ' ( 1 ) × r ' ' ( 1 ) = i j k 1 2 3 0 2 6 = ( 12 - 6 , - 6,2 )

r ' 1 × r ' ' 1 = ( 6 , - 6,2 )

O plano osculador é

6 x - 1 - 6 y - 1 + 2 z - 1 = 0

6 x - 6 y + 2 z = 2

Resposta

Normal: x + 2 y + 3 z = 6

Osculador: 6 x - 6 y + 2 z = 2

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