Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = - 1 n   n 3 n 3 + 2 n 2 + 1

Passo 1

Beleza, pessoal? Vamos nesse primeiro passo analisar a estratégia que vamos tomar para resolver essa questão.

Bem, como sabemos: pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela. Porém, olhando “de cara” temos uma sequência com muitos termos, de modo que é difícil entender de antemão seu comportamento e para onde vão seus valores.

Sendo assim, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pela maior potência do denominador, ou seja, por n 3 . Isso será útil pois também simplificará muito o numerador, como você verá no passo 2.

Outra abordagem que também usaremos é a de calcular o módulo do limite, já que o sinal da sequência alterna de termo em termo através do - 1 n .

Passo 2

Aplicando o módulo, tomamos somente os valores positivos da sequência: l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞     n 3 n 3 + 2 n 2 + 1

Agora aplicamos a simplificação detalhada no passo 1:

l i m n → ∞   n 3 n 3 n 3 n 3 + 2 n 2 n 3 + 1 n 3 = l i m n → ∞     1 1 + 2 n + 1 n 3

Passo 3

Agora podemos de fato analisar o limite.

Como as frações do denominador vão se aproximar cada vez mais de 0 com n → ∞ , teremos:

l i m n → ∞     1 1 + 0 + 0 = 1

Porém, nossa sequência assume também valores negativos e não somente positivos. Sendo assim, a sequência alterna entre 1 e -1, ou seja, dois valores diferentes ao invés de somente 1. Portante, o limite da sequência não existe.

l i m n → ∞   - 1 n .   n 3 n 3 + 2 n 2 + 1 = n ã o   e x i s t e

Ou seja, não importa o quanto n cresça, sempre ainda vai assumir os valores - 1 e 1 . Então a nossa sequência diverge, tá beleza?

Resposta

Sequência divergente.

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