Enunciado

Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.

Passo 1

A ideia nessa questão vai ser achar a distância de um ponto o plano e impor que essa distância é 2 . Repare que com isso já definimos o plano, uma vez que ele deve ser paralelo ao plano de referência. Como o plano que queremos é paralelo ao plano x + 2 y - 2 z = 1 , então ele também terá o mesmo vetor diretor.

Passo 2

Considerando um ponto genérico ( x , y , z ) :

D = | x + 2 y - 2 z + 1 | 1 2 + 2 2 + - 2 2

Como D = 2 :

2 = x + 2 y - 2 z + 1 3

Logo,

x + 2 y - 2 z + 1 = 6

Passo 3

Agora é só dividir em dois casos.

Se x + 2 y - 2 z + 1 > 0 :

x + 2 y - 2 z + 1 = 6

Portanto,

x + 2 y - 2 z - 5 = 0

E por fim, se x + 2 y - 2 z + 1 < 0 :

x + 2 y - 2 z + 1 = - 6

Logo,

x + 2 y - 2 z + 7 = 0

Resposta

x + 2 y - 2 z - 5 = 0 ,     x + 2 y - 2 z + 7 = 0

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