Enunciado

Determine as equações para ( a ) a tangente à curva em P e ( b ) a tangente horizontal à curva em Q .

Passo 1

Esta é uma questão bastante interessante. Ela esboça duas possibilidades de trabalho da derivada de uma função e o seu gráfico. Na letra ( a ) , nos conhecemos as coordenadas do ponto, entretanto, não sabemos qual a inclinação da reta. Desta forma, devemos encontrar a inclinação para só assim obtermos o gráfico da reta tangente. Já na letra ( b ) , nos conhecemos a inclinação da reta e não conhecemos as coordenadas do ponto Q . Calma, como assim conhecemos a inclinação da reta???

Bom, a partir do momento em que nos foi informado que a tangente é horizontal no ponto Q , nos foi dito que a inclinação da reta é igual a 0. Agora sim, sabemos a inclinação. Precisamos então descobrir qual a coordenada do ponto Q .

Depois disso tudo, a gente entra em um simples questionamento. Como encontramos a inclinação de uma reta tangente a uma curva? É neste exato momento em que entramos com os nossos conhecimentos de cálculo! A função inclinação de uma reta nada mais é a derivada da sua curva. Vamos aos cálculos então!

Passo 2

Antes de começar a resolver qualquer uma das letras, vamos calcular a derivada da função, pois ela será utilizada em ambas as respostas. Sendo assim, temos:

y ' = 4 + c o t g x - 2 ⋅ c o s s e c x '

y ' = - c o s s e c 2 x + 2 ⋅ c o t g x ⋅ c o s s e c ( x )

Passo 3

Vamos começar resolvendo a letra ( a ) . Para isto, devemos calcular a inclinação da reta tangente ao ponto P . Assim temos:

y ' = - c o s s e c 2 π 2 + 2 ⋅ c o t g π 2 ⋅ c o s s e c π 2

y ' = - 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 = - 1

Passo 4

Portanto, a inclinação da reta é igual a - 1 . Substituindo na equação da reta, temos:

y - 2 = - 1 ⋅ x - π 2

y = - x + π 2 + 2

Passo 5

Para descobrir as coordenadas do ponto Q , vamos resolver a seguinte equação:

y ' = - c o s s e c 2 x + 2 ⋅ c o t g x ⋅ c o s s e c x = 0

y ' = - 1 + 2 cos ⁡ x s e n 2 x = 0

Para que a inclinação seja igual a 0, o numerador deve ser igual a 0. Logo,

- 1 + 2 cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = 1 2

Como o ponto Q tem coordenada x próxima de 1, conforme pode ser observado pelo gráfico da questão, o valor x tal que cos ⁡ x = 1 2 é:

x = π 3

E as coordenadas do ponto Q são:

Q = π 3 , y π 3 = π 3 , 4 - 3

Passo 6

Portanto, a equação da reta tangente horizontal ao ponto Q é:

y = 4 - 3

Resposta

  1. y = - x + π 2 + 2
  2. y = 4 - 3
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