Resolva a equação diferencial

dy/dx = raiz(y) \* cos^2(raiz(y))

Passo 1

Podemos perceber que a equação diferencial é separável, já que é possível separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, dessa forma teremos

d y d x = y ⋅ cos 2 ⁡ y

d y = y ⋅ cos 2 ⁡ y       d x

d y y ⋅ cos 2 ⁡ y =   d x sec 2 ⁡ y   d y y = d x

Passo 2

Agora, podemos integrar ambos os lados e vamos chegar em

∫ sec 2 ⁡ y   d y y = ∫ d x

Podemos resolver essas duas equações de maneira separada e juntar os resultados, então

i :   ∫ d x = x + C 1

i i :     ∫ sec 2 ⁡ y   d y y =

Fazendo a seguinte substituição simples u = y → d u d y = 1 2 y → 2 d u = d y y

∫ 2 ⋅ sec 2 ⁡ u d u = 2 ⋅ t g u + C 2

Retornando pra variável y

i i = 2 ⋅ t g y   + C 2

Juntando ambos os resultados e fazendo C = C 1 - C 2

x + C = 2 ⋅ t g y   t g y = x 2 + C 2

y = A r c t g x 2 + C 2 → y = A r c t g x 2 + C 2 2

Resposta

y = A r c t g x 2 + C 2 2

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