Enunciado

Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado

y = x   ,   1,1

Passo 1

E aí, pessoal! 😬

Nesse problema queremos obter a expressão da reta tangente da função y = x no ponto 1,1 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para obter a reta tangente de y podemos aplicar a formulinha para a reta tangente de uma função qualquer no ponto P = x 1 , y 1 :

y - y 1 = m x - x 1

Onde m é a inclinação da reta (que é a derivada hehe)!!

Para obter m podemos aplicar o método da inclinação pelo limite pela formulinha:

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Onde a é um ponto qualquer em x (no nosso caso, de acordo com o ponto que nos foi dado, a = 1 ).

Agora bora lá! 😉

Passo 2

Primeiramente iremos calcular o valor da inclinação da tangente, que é dada por:

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Se f x = x e a = 1 , então substituindo, temos:

m = lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

Só que a gente tem que manipular essa expressão porque do jeito que ela se encontra ocorre uma indeterminação (divisão por zero se fizermos x = 1 ).

Assim, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, temos:

m = lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 ⋅ x + 1 x + 1 ∴

m = lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 ⋅ x + 1 ∴

m = lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 ∴

m = 1 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora, calcularemos a equação da reta tangente:

y - y 1 = m x - x 1

Se x 1 , y 1 = 1,1 e m = 1 2 , então:

y - 1 = 1 2 ⋅ x - 1 ∴

y = x 2 - 1 2 + 1 ∴

y = x + 1 2

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

y = x + 1 2

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