Enunciado

  1. A curva y = x 2 - x ² é chamada curva ponta de bala. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto 1,1 .
  2. no ponto 0,1 .

  3. Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.

Passo 1

  1. Temos que a equação da reta tangente é do formato:
  2. y - y ₀ = m x - x ₀

    O valor m é a inclinação da reta, e é achado calculando a primeira derivada da função e aplicando o valor do ponto pedido, vamos então fazer isso aos poucos.

    Passo 2

    Para x > 0 , nós temos que x = x , assim ficamos com a expressão:

    y = x 2 - x ²

    Passo 3

    Primeiro vamos arrumar um pouco essa função:

    y = x 2 - x ² = x 2 - x ² - 1 2

    Passo 4

    Aqui vamos usar a regra do produto:

    f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

    Temos que:

    f x = x

    e

    g x = 2 - x ² - 1 2

    Passo 5

    Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    f ' x = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

    Passo 6

    Vamos agora derivar g ' ( x ) , usando a regra da cadeia, da função constante e do polinômio:

    c ' = 0 e x n ' = n x n - 1

    g ' ( x ) = 2 - x ² - 1 2 ' = - 1 2 . 2 - x ² - 1 2 - 1 . 2 - x ² ' = - 1 2 . 2 - x ² - 3 2 . 0 - 2 x 2 - 1 = - 2 - x ² - 3 2 2 . - 2 x = x 2 - x ² - 3 2

    Passo 7

    Agora é só substituir na expressão:

    y ' = f ' x g x + g ' x f x = 1 . 2 - x 2 - 1 2 + x 2 - x ² - 3 2 . x = 1 2 - x 2 1 2 + x ² 2 - x ² 3 2 = 2 2 - x ² 3 2

    Passo 8

    Vamos agora aplicar no ponto 1,1 :

    f ' 1 = 2 2 - 1 ² 3 2 = 2 = m

    Passo 9

    Agora é só substituir na fórmula da equação da reta, utilizando o ponto dado:

    y - 1 = 2 x - 1 → y = 2 x - 2 + 1 → y = 2 x - 1

    Passo 10

  3. Ilustração do gráfico:

Resposta

  1. y - 1 = 2 x - 1 → y = 2 x - 1

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