Enunciado

Determine as equações para ( a ) a tangente à curva em P e ( b ) a tangente horizontal à curva em Q .

Passo 1

Esta é uma questão bastante interessante. Ela esboça duas possibilidades de trabalho da derivada de uma função e o seu gráfico. Na letra ( a ) , nos conhecemos as coordenadas do ponto, entretanto, não sabemos qual a inclinação da reta. Desta forma, devemos encontrar a inclinação para só assim obtermos o gráfico da reta tangente. Já na letra ( b ) , nos conhecemos a inclinação da reta e não conhecemos as coordenadas do ponto Q . Calma, como assim conhecemos a inclinação da reta???

Bom, a partir do momento em que nos foi informado que a tangente é horizontal no ponto Q , nos foi dito que a inclinação da reta é igual a 0. Agora sim, sabemos a inclinação. Precisamos então descobrir qual a coordenada do ponto Q .

Depois disso tudo, a gente entra em um simples questionamento. Como encontramos a inclinação de uma reta tangente a uma curva? É neste exato momento em que entramos com os nossos conhecimentos de cálculo! A função inclinação de uma reta nada mais é a derivada da sua curva. Vamos aos cálculos então!

Passo 2

Antes de começar a resolver qualquer uma das letras, vamos calcular a derivada da função, pois ela será utilizada em ambas as respostas. Sendo assim, temos:

y ' = 1 + 2 ⋅ c o s s e c x + c o t g x '

y ' = - 2 ⋅ c o t g x ⋅ c o s s e c x - c o s s e c 2 x

Passo 3

Vamos começar resolvendo a letra ( a ) . Para isto, devemos calcular a inclinação da reta tangente ao ponto P . Assim temos:

y ' = - 2 ⋅ c o t g π 4 ⋅ c o s s e c π 4 - c o s s e c 2 π 4

y ' = - 2 ⋅ 1 ⋅ 2 - 2 = - 4

Passo 4

Portanto, a inclinação da reta é igual a - 4 . Substituindo na equação da reta, temos:

y - 4 = - 4 ⋅ x - π 4

y = - 4 x + π + 4

Passo 5

Para descobrir as coordenadas do ponto Q , vamos resolver a seguinte equação:

y ' = = - 2 ⋅ c o t g x ⋅ c o s s e c x - c o s s e c 2 x = 0

y ' = - 2 cos ⁡ x + 1 s e n 2 x = 0

Para que a inclinação seja igual a 0, o numerador deve ser igual a 0. Logo,

2 cos ⁡ x + 1 = 0

cos ⁡ x = - 2 2

Como o ponto Q tem coordenada x próxima de 2.5 , conforme pode ser observado pelo gráfico da questão, o valor x tal que cos ⁡ x = - 2 2 é:

x = 3 π 4

E as coordenadas do ponto Q são:

Q = 3 π 4 , y 3 π 4 = 3 π 4 , 2

Passo 6

Portanto, a equação da reta tangente horizontal ao ponto Q é:

y = 2

Resposta

  1. y = - 4 x + π + 4
  2. y = 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma curva tem por equação y = f ( x ) a) Escreva uma expressão para a inclinação da reta secante pelos pontos P 3 , f 3eQ x , f x b) Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente em P
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = 2 x 3 - 5 x,- 1,3
Esboce o gráfico de uma função g para a qual g 0 = g ' 0 = 0, g ' - 1 = - 1,g ' 1 = 3eg ' 2 = 1
Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y = 4 x - x 2 no ponto ( 1,3 ) Usando a definição 1Usando a equação 2Encontre a equação da reta tangente da parte (a)Faça os gráficos da parábola e da
Encontre a inclinação da tangente à curva y = 3 + 4 x 2 - 2 x 3 no ponto onde x = a Encontre as equações das retas tangentes nos pontos 1,5e( 2,3 ) Faça o gráfico das curvas e de ambas as retas tangen