Determine (dr) / (d theta) nos Exercícios 17-20.

19. sen(r theta) = 1 / 2

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a θ , considerando r como uma função derivável de θ ;

2. Agrupar os termos que possuem d r d θ em um lado da equação e isolar d r d θ .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1, temos:

cos ⁡ r θ . r θ ' = 0

Para derivarmos aquela multiplicação ali, teremos que utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

f . g ' = f ' . g + f . g '

r θ ' = d r d θ . θ + r

Voltando na equação derivada, teremos:

cos ⁡ r θ . d r d θ . θ + r = 0

Passo 3

Agora que derivamos ambos os membros da equação, basta aplicarmos o passo 2, isolando a derivada:

cos ⁡ r θ . d r d θ . θ + cos ⁡ r θ . r = 0

d r d θ = - cos ⁡ r θ . r cos ⁡ r θ . θ

∴ d r d θ = - r θ , cos ⁡ r θ ≠ 0

Resposta

d r d θ = - r θ ,   cos ⁡ r θ ≠ 0

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