Encontre dy/dx derivando implicitamente.

y^5 + x^2y^3 = 1 + yey^(x^2)

Passo 1

A questão dá uam equação que fornece y implicitamente como função de x . Devemos então derivá-la implicitamente para obter y ' .

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, f y ' = f ' y ⋅ y ' .

Derivando a equação y 5 + x 2 y 3 = 1 + y e x 2 com relação a x , temos que

5 y 4 ⋅ y ' + 2 x ⋅ y 3 + x 2 ⋅ 3 y 2 ⋅ y ' = y ' ⋅ e x 2 + y ⋅ e x 2 ⋅ 2 x

Assim,

5 y 4 y ' + 2 x y 3 + 3 x 2 y 2 y ' = e x 2 y ' + 2 x e x 2 y

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y '   5 y 4 + 3 x 2 y 2 - e x 2 = 2 x e x 2 y - 2 x y 3

y ' = 2 x e x 2 y - 2 x y 3 5 y 4 + 3 x 2 y 2 - e x 2

Resposta

R:

y ' = 2 x e x 2 y - 2 x y 3 5 y 4 + 3 x 2 y 2 - e x 2

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