Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 1
a) Encontre derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter em função de .
c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para em sua solução para a parte (a).
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom.. o enunciado nos dá a seguinte expressão:
Então... esta é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita.
O enunciado fornece uma equação em é dado implicitamente em função de .
No item (a) é pedido que se derive implicitamente encontrando em função de e .
No item (b) é pedido que se isole para obter como função de explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando apenas em função de .
No item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.
A medida que a gente for fazendo eu vou te explicando direitinho, combinado??
Bora junto!! 😉
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item (a).
Vamos derivar a equação dada com relação a .
É importante lembrar que não podemos tratar como uma constante: ele depede de e também deve ser derivado!!!
Vamo derivar primeiro o termo pela regra do produto:
A derivada de será
E por fim, a derivada de é . Assim, derivando a equação , obtemos
Devemos agora isolar :
Passo 3
Neste passo vamos resolver parte do item (b).
Vamos isolar em função de na equação .
Para simplificar na hora de derivar, vamos escrever da seguinte forma:
Passo 4
Neste item vamos terminar de resolver o item (b).
Derivando a expressão encontrada no passo 3:
Passo 5
Para encerrar, vamos fazer o item (c).
Substituindo a expressão encontrada para no passo 3 na expressão encontrada no passo 2, temos que:
Assim, temos que
Que de fato é a expressão encontrada no passo 4 (item (b)).
Resposta
a)
b) e
c) Demonstração