Enunciado

a) Encontre y ' derivando implicitamente.

b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .

c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para y em sua solução para a parte (a).

x y +   2 x + 3 x 2 = 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. o enunciado nos dá a seguinte expressão:

x y +   2 x + 3 x 2 = 4

Então... esta é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita.

O enunciado fornece uma equação em y é dado implicitamente em função de x .

No item (a) é pedido que se derive y implicitamente encontrando y ' em função de x e y .

No item (b) é pedido que se isole y para obter y como função de x explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando y ' apenas em função de x .

No item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.

A medida que a gente for fazendo eu vou te explicando direitinho, combinado??

Bora junto!! 😉

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a).

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Vamo derivar primeiro o termo x y pela regra do produto:

x y ' = x ' ⋅ y + x ⋅ y ' = y + x y '

A derivada de 2 x + 3 x 2 será

2 x + 3 x 2 ' = 2 + 6 x

E por fim, a derivada de 4 é 0 . Assim, derivando a equação x y +   2 x + 3 x 2 = 4 , obtemos

y + x y ' + 2 + 6 x = 0

Devemos agora isolar y ' :

x y ' =   - 2 - 6 x - y

y ' = - 2 - 6 x - y x

Passo 3

Neste passo vamos resolver parte do item (b).

Vamos isolar y em função de x na equação x y +   2 x + 3 x 2 = 4 .

x y = 4 - 2 x - 3 x 2

y = 4 - 2 x - 3 x 2 x

Para simplificar na hora de derivar, vamos escrever y da seguinte forma:

y = 4 x - 1 - 2 - 3 x

Passo 4

Neste item vamos terminar de resolver o item (b).

Derivando a expressão encontrada no passo 3:

y ' = - 1 ⋅ 4 x - 2 - 0 - 3

y ' = - 4 x - 2 - 3

Passo 5

Para encerrar, vamos fazer o item (c).

Substituindo a expressão encontrada para y no passo 3 na expressão encontrada y ' no passo 2, temos que:

y ' = - 2 - 6 x - 4 x - 1 - 2 - 3 x x

y ' = - 2 - 6 x - 4 x - 1 + 2 + 3 x x

y ' = - 4 x - 1 - 3 x x

Assim, temos que

y ' = - 4 x - 2 - 3 ,

Que de fato é a expressão encontrada no passo 4 (item (b)).

Resposta

a) y ' = - 2 - 6 x - y x

b) y = 4 x - 1 - 2 - 3 x e y ' = - 4 x - 2 - 3

c) Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre d y // d x derivando implicitamente.s e n x + cos y = s e n x cos y
Encontre d y // d x por derivação implícita.4 cos x s e n y = 1
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x y = c o t g x y
Encontre d y // d x derivando implicitamente.y s e n x^2 = x s e n y^2
Encontre d y // d x por derivação implícita.e^(x // y) = x - y