Enunciado

Determine uma expressão para

(d)/(d t) [u (t) * ( v (t) xx w (t) )]

Passo 1

Da Fórmula 4 (derivada do produto escalar) do Teorema 3 temos

(d)/(d t) [u (t) * ( v (t) xx w (t) )] = u^' (t) * [v (t) xx w (t)] + u (t) * (d)/(d t) [v (t) xx w (t)]

Por outro lado, da Fórmula 5 do Teorema 3 podemos desenvolver a derivada do produto vetorial [v (t) xx w (t)] presente na equação acima. Obtemos:

= u^' (t) * [v (t) xx w (t)] + u (t) * [ v^' (t) xx w (t) + v (t) xx w ' ( t ) ]

Aplicando a propriedade distributiva no segundo produto escalar temos

= u^' (t) * [v (t) xx w (t)] + u (t) * [v^' (t) xx w (t)] + u (t) * [ v (t) xx w ' ( t ) ]

Aplicando a Propriedade 5 do Teorema 11 do Produto Vetorial (Seção 12.4) ao segundo e ao terceiro termo da soma na equação acima, obtemos

= u^' (t) * [v (t) xx w (t)] + [u (t) xx v^' (t)] * w (t) + [ u (t) xx v ( t ) ] * w ' ( t )

Agora, aplicando a Propriedade 1 do Teorema 11 ao segundo termo da soma, e aplicando a propriedade comutativa do produto escalar ao terceiro fator da soma, obtemos:

= u^' (t) * [v (t) xx w (t)] + [- v^' (t) xx u (t)] * w (t) + w^' (t) * [ u (t) xx v ( t ) ]

Por fim, aplicamos a Propriedade 5 do Teorema 11, novamente, ao segundo termo da soma:

= u^' (t) * [v (t) xx w (t)] - v^' (t) * [ u (t) xx w ( t ) ] + w^' (t) * [ u (t) xx v ( t ) ]

Resposta

(d)/(d t) [u (t) * ( v (t) xx w (t) )]

= u^' (t) * [v (t) xx w (t)] - v^' (t) * [ u (t) xx w ( t ) ] + w^' (t) * [ u (t) xx v ( t ) ]

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