Enunciado

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais

13. r t = t 3 3 i + t 2 2 j ,   t > 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Diferenciando a equação dada em relação a t , obtemos

v = d r d t = d d t t 3 3 i + t 2 2 j

Que tem como resultado

v = t 2 i + t j

Derivando novamente, obtemos que

a = 2 t i + j

E novamente diferenciando a equação acima em relação a t , para obter

a ' = d a t d t = 2 i

Da equação (1), obtemos que

v ( t ) = t 2 2 + t 2 = t 2 ( t 2 + 1 ) = t t 2 + 1

Passo 2

Se r ( t ) é uma curva suave, então a unidade principal normal é

N = d T d t d T d t

Onde T = v v é o vetor tangente unitário, com isso

T = t 2 i + t j t t 2 + 1 = t t 2 + 1 i + 1 t 2 + 1 j

Diferenciando a equação acima em relação a t , obtemos

d T d t = i - t j t 2 + 1 3 / 2

Então, o módulo será igual a

d T d t = 1 t 2 + 1 3 2 2 + - t t 2 + 1 3 2 2 = 1 t 2 + 1

Então, para o termo N

N = d T d t d T d t = i - t j t 2 + 1 3 / 2 1 t 2 + 1 = i t 2 + 1 1 / 2 - j t t 2 + 1 1 / 2

Passo 3

O vetor binormal é dado por

B = T × N

Então

B = i j k t t 2 + 1 1 t 2 + 1 0 1 t 2 + 1 3 / 2 - t t 2 + 1 1 / 2 0 = - t 2 t 2 + 1 - 1 t 2 + 1 k = - t 2 + 1 t 2 + 1 k = - k

E para o torsor

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2

Calculando v × a

v × a = - t 2 2 = t 2

Então, a torção é igual a

τ = t 2 t 0 2 t 1 5 2 0 0 t 2 2 = 0

Resposta

B = - k

τ = 0

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