Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 13
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou e . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre e para essas curvas espaciais
13.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Diferenciando a equação dada em relação a , obtemos
Que tem como resultado
Derivando novamente, obtemos que
E novamente diferenciando a equação acima em relação a , para obter
Da equação (1), obtemos que
Passo 2
Se é uma curva suave, então a unidade principal normal é
Onde é o vetor tangente unitário, com isso
Diferenciando a equação acima em relação a , obtemos
Então, o módulo será igual a
Então, para o termo
Passo 3
O vetor binormal é dado por
Então
E para o torsor
Calculando
Então, a torção é igual a
Resposta
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Determine uma expressão para (d)/(d t) [u (t) * ( v (t) xx w (t) )]
Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição r (t) esta sempre perpendicular ao vetor tangente r ' ( t ) , mostre que essa curva está em uma esfera com centro na origem.
Demonstre a fórmula 5 do Teorema 3.(d)/(d t) [u (t) xx v ( t )] = u^' (t) xx v ( t ) + u (t) xx v ' ( t )
Se u e v são as funções vetoriais do Exercício 45, use a Fórmula 5 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t × v t ]
Se r (t) != 0 , mostre que (d)/(d t) |r (t)| = (1)/(|r (t)|) r (t) * r ' ( t ) [Sugestão: |r (t)|^2 = r (t) * r ( t ) ] .