Enunciado

Esboce a curva e calcule a área limitada por ela.

r^2 = s e n 2 theta

Passo 1

O exercício pede para esboçarmos a curva e calcular a área da região limitada por ela:

r^2 = s e n 2 theta

Isolando r , obtemos duas curvas:

r = +- sqrt(s e n 2 theta)

Como o seno está dentro da raiz, ele deve ser positivo:

0 <= 2 theta <= pi => 0 <= theta <= (pi)/(2)

Assim, a curva só é definida no primeiro quadrante mas vai apresentar duas partes: para r > 0 ela estará no primeiro quadrante, para r < 0 ela será rebatida para o terceiro.

Passo 2

Para calcular a área, vamos considerar apenas um laço e no final multiplicar por dois:

A_l a ç o = int_0^(pi // 2) (1)/(2) (sqrt(s e n 2 theta))^2 d theta = (1)/(2) int_0^(pi // 2) s e n 2 theta d theta

Fazendo a integração,

A_l a ç o = (- (1)/(4) cos 2 theta)_0^(pi // 2) = - (1)/(4) (cos pi - cos 0) = (1)/(2)

Como a área pedida é o dobro da área de um laço:

A = 2 A_l a ç o = 2 * (1)/(2)

Portanto,

A = 1

Resposta

A = 1

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