Enunciado

Determine f x e f y e faça o gráfico de f ,   f x e f y com domínios e pontos de vista que permitam ver a relação entre eles.

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f x , y = x e - x 2 - y 2

Passo 1

Fazendo as derivadas primeiras em relação a x e y dessa função nós teremos:

f x = ∂ ∂ x x e - x 2 - y 2 = d x d x   e - x 2 - y 2 + x   d d x e - x 2 - y 2 = e - x 2 - y 2 + x e - x 2 - y 2 d d x - x 2 - y 2

Fizemos a regra do produto para encontrar a derivada em x e deu isso:

f x = e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2

Agora para a derivada em y temos:

f y = x d d y e - x 2 - y 2 = - 2 x y e - x 2 - y 2

Passo 2

Gráficos:

Começando pelo gráfico de f ( x , y ) visto pelo plano z x temos:

Agora uma vista geral:

Gráfico de f x :

Gráfico de f y :

Passo 3

Os gráficos em x z auxiliam bastante a nossa interpretação pois o gráfico de f x nos mostra dois zeros e o de f y apenas um (não considerando as assíntotas).

O zero de f x na origem mostram a transição que há para x < 0 até x > 0 . Tendo um ponto de mínimo para x < 0 e um ponto de máximo para x > 0 . Além da transição na origem.

Já o gráfico de f y nos mostra o comportamento das barriguinhas nos respectivos quadrantes, tendendo a crescer ou diminuir o valor de z de modo a formar essas concavidades. Além de nos mostrar por que temos uma transição na origem.

Resposta

f x = e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2

f y = - 2 x y e - x 2 - y 2

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: f x , y , z , t = x y ² t + 2 z ²