Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

8-

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1   n n 2 + 1

Passo 1

Vamos começar fazendo o teste da série alternada para vermos se ela converge ou não.

Fazendo o limite temos:

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1

Dividindo o numerador e o denominador por n 2 temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 + 1 n 2 = 0 1 = 0

Agora verificando se ela é decrescente vamos simplesmente fazer a derivada dessa sequência no domínio de x :

d d x x x 2 + 1 = x ' x 2 + 1 - x ( x 2 + 1 ) ' x 2 + 1 2 = x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 + 1 2 = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

Dessa forma a série decrescente quando:

- x 2 + 1 < 0

x 2 > 1 → x = ± 1

Como a série começa de n = 1 até infinito, logo podemos dizer que a série é toda decrescente.

Como a série passou nos dois testes podemos dizer então que a série é condicionalmente convergente.

Passo 2

Agora vamos ver se a série é absolutamente convergente analisando a série sem o sinal de alternância, ou seja:

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

Essa série, é convergente? Se for, ela é absolutamente convergente, se não, pelo menos já sabemos que com a condição do sinal de alternância ela é:

Para isso vamos aplicar o teste de comparação por limite com:

∑ n = 1 ∞ n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Que é uma série divergente.

Ou seja, vamos fazer:

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 × n 2 n = lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 + n

Dividindo o numerador e o denominador por n 3 temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2 = 1

Logo essa série sem o sinal de alternância é uma série divergente. Ou seja, com o sinal de alternância ele será condicionalmente convergente.

Resposta

Série condicionalmente convergente.

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