Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 8
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
8-
Passo 1
Vamos começar fazendo o teste da série alternada para vermos se ela converge ou não.
Fazendo o limite temos:
Dividindo o numerador e o denominador por temos:
Agora verificando se ela é decrescente vamos simplesmente fazer a derivada dessa sequência no domínio de :
Dessa forma a série decrescente quando:
Como a série começa de até infinito, logo podemos dizer que a série é toda decrescente.
Como a série passou nos dois testes podemos dizer então que a série é condicionalmente convergente.
Passo 2
Agora vamos ver se a série é absolutamente convergente analisando a série sem o sinal de alternância, ou seja:
Essa série, é convergente? Se for, ela é absolutamente convergente, se não, pelo menos já sabemos que com a condição do sinal de alternância ela é:
Para isso vamos aplicar o teste de comparação por limite com:
Que é uma série divergente.
Ou seja, vamos fazer:
Dividindo o numerador e o denominador por temos:
Logo essa série sem o sinal de alternância é uma série divergente. Ou seja, com o sinal de alternância ele será condicionalmente convergente.
Resposta
Série condicionalmente convergente.